GUDRUN MALMER

Titeln på en av mina böcker är “Matematik – ett glädjeämne”. Den innehåller sju av mina totalt tolv biennalföreläsningar (1980–1992). Mottot för den allra första biennalen år 1980 var just Matematik – ett glädjeämne. Men orsaken till att jag valde den titeln beror också på att jag verkligen har och länge haft ett kärleksfullt förhållande till mate­matiken.

Tyvärr är det alltför få som instämmer i detta, färre ju längre tid de tillbringat i skolan och där blivit utsatta för matematikundervisning. Varför det är så har upptagit både tid och intresse inte bara under min aktiva tid i skolan utan även efter min pensionering.

Var det bättre förr? Det frågar vi oss med jäm­na mellanrum. Det gamla parallellskolsystemet har avlösts av grundskolan. Vi har fått den ena läroplanen efter den andra. Läroböckerna är i dag både många och färgglada.

När jag startade min verksamhet som folkskol­lärare (examen vid Lunds folkskoleseminarium 1942) arbetade man i folkskolan fortfarande efter 1919 års undervisningsplan.

1919 ÅRS UNDERVISNINGSPLAN

Denna undervisningsplan var för sin tid anmärkningsvärt progressiv. Man frågar sig var alla dessa idéer kom ifrån. Bakom formuleringar och anvisningar fanns självklart en rad inflytelserika personer. Det känns angeläget att låta er möta några av dem och förmedla glimtar av hur de såg på dåtidens matematikundervisning och vilka förändringar de kämpade för. Hur mycket av deras visioner har blivit verklighet? Eller är det så att deras synpunkter fortfarande har aktualitet?

Anna Kruse – en inspirationskälla

Anna Kruse (1861–1931) var lärarinna, seder­mera föreståndarinna vid Brummerska privatskolan i Stockholm. I sin mycket intressanta bok Åskådningsmatematik (1909) utvecklar hon sina idéer om hur hon tycker att undervisningen skulle bedrivas. Hon visade ett speciellt stort intresse för den första grundläggande undervisningen både i svenska och matematik. Hon talade varmt för att göra barnen till ”självständiga upptäckare”. Här ett citat ur den nämnda boken:

Barnen skola aldrig få någon regel för hur de skola göra. De skola ej ha några förklaringar, allt skall vara så klart och åskådligt, att det för dem blir en erfarenhetskunskap. … Jag skulle vilja säga, att de skola i ordets egentliga bemärkelse inse matematiken och sedan inöva den.

K.G. Jonsson – en matematikdidaktiker

K.G. Jonsson (1879–1981) disputerade 1919 på en avhandling med titeln Undersökningar rörande problemräkningens förutsättnlngar och förlopp. Men han ägnade sig också i stor utsträckning åt frågor som rörde den allra första räkneunder­visningen. Han gav ut läroböcker och skrev bl.a. en bok med titeln Handledning vid den första räkneundervisningen (1921). Där beskriver han de skilda uppfattningar som rådde vad det gällde att ge barnen taluppfattning. Somliga menade att man måste utgå från talbilder, andra förfäktade att man måste lägga vikt vid räknandet, d.v.s. ”uppradande i följd på det sätt, som sker exempelvis vid begagnandet av den allbekanta kulramen”.

K.G. Jonsson menar att de bägge metoderna kan komplettera varandra. Han menar också attåskådningsmedlen spelar stor roll. ”Ett abstrakt räknande redan på tidigaste stadium är helt enkelt en omöjlighet”, skriver han. K.G. Jonsson beto­nar starkt hur viktigt det är att ”med handen syssla med vad som är före vid undervisningen”. Han är därför kritiskt inställd till kulramen. ”Den är inte nog enkel och prisbillig”, skriver han, och om inte varje barn har tillgång till den förblir kravet på rörelsemomentet inte uppfyllt. Här kan noteras att han har gott stöd i 1919 års undervis­ningsplan. Här följer några citat ur denna:

Vid undervisningen bör så långt möjligt åskådlighet eftersträvas. … I synnerhet är åskådligt räknande med föremål nödvändigt för den första räkneundervisningen. … Räk­ning med tal, betecknade med siffror, torde helst bör uppskjutas, till dess talområdet 1–9 blivit genomgånget. Under den tidigaste räk­neundervisningen betecknas talen i stället på annat sätt, t.ex. genom streck, ringar eller dylikt.

Ett huvudsyfte vid räkneundervisningen bör vara, att lärjungarna erhålla färdighet i huvud­räkning. … Räkneuppgifternas sakinnehåll bör hämtas huvudsakligen från förhållanden i hemmet och skolan, från arbets- och affärs­livet samt från de kunskapsområden, vilka behandlas vid undervisning i övriga ämnen. … Den antagna räkneboken bör icke få bliva helt bestämmande i fråga om valet av räkneuppgif­ter.

Det kan nämnas att denna undervisningsplan gällde ända fram till 1955 då det utfärdades anvis­ningar för försöksskolan. Dessa följdes sedan av läroplanen för grundskolan 1962, som innehåller kursplaner för en obligatorisk, organisatoriskt sammanhållen 9-årig skola.

Fritz Wigforss – en pedagog med bredd och djup

Under min egen utbildning till folkskollärare läste vi bl a Wigforss’ bok Den grundläggande matematikundervisningen (1925). Wigforss var från 1919 och 30 år framåt verksam som lektor i matematik samt pedagogik och psykologi vid seminariet i Kalmar. Han var en mycket flitig författare och hade stort inflytande på hela undervisningsområdet. Hans namn förknippas ofta med standardiserade prov i läsning och räkning men även skolmognadsprov. Också han betonar hur viktigt det är att eleverna når fram till förståelse.

Då tankens skolning är en huvuduppgift för undervisningen i matematik följer därav, att begripandet av kunskapsstoffet energiskt måste eftersträvas och att mekaniseringen ej bör sträcka sig längre än vad som verkligen är nödvändigt. … Många lärare sätter en ära i att hinna med så stora kurser som möjligt. Häri ligger intet förtjänstfullt.

Det kan vara intressant att notera att Wigforss anslöt sig till Carl Gustaf Hellstens teori om fem räknesätt, vilket innebar en tudelning av divisio­nen med åtföljande olika beteckningssätt: i del­ningsdivision med kolontecknet och vid inne­hållsdivision med bråkstrecket. En kombination av båda dessa (–) har vi numera på våra mini­räknare som beteckning för division! Denna tudelning och för övrigt alla diskussioner kring olika divisionsalgoritmer rörde upp många heta och stridiga känslor och upptog en fullkomligt onormal tid på bekostnad av andra metodiska frågor. Numera är vi medvetna om att inte bara divisionen utan varje räknesätt innehåller många olika tankegångar.

Gottfrid Sjöholm – en mångsidig praktiker

Gottfrid Sjöholm (1877–1970) undervisade i de lägre klasserna som övningsskollärare vid seminariet i Göteborg. För många äldre lärare är han kanske mest känd för sina arbeten i hembygdskunskap tillsammans med kollegan och teckningsläraren Axel Goës. Men han gjorde också betydande insatser för att konkretisera matematikundervisningen. Han betonar också självverksamheten. Hans material ”Hand och öga” fanns dels i en stor ”katederversion” och dels i ett utförande som var avsett att användas av eleverna själva. Här följer ett citat hämtat ur en artikel från boken Arbetssättet i folkskolan, Del III (1926):

Den ledande principen för den grundläggande räkneundervisningen är lätt att finna och – omöjlig att komma förbi; barnens självverk­samhet. Men låt denna självverksamhet rikta sig ej mot ett mekaniskt eftergörande och ett själlöst inlärande av tabeller och räkneuttryck utan mot en konsekvent fullföljd utveckling av barnens andliga krafter, så att de små genom räkneundervisningen växa till i klarhet och insikt och inifrån vinna den färdighet som livet kräver.

MÄNGDLÄRAN – EN PARENTES

Det är omöjligt att i en beskrivning av matematik­undervisningen helt hoppa över den period under vilken såväl lärare som elever kämpade med en hel rad nya symboler och uttryck, som man hade svårt att motivera användningen för, nämligen mängdlärans införande i och med Lgr 69.

I mitt dåvarande arbete som rektor i Huddinge (1963–1975) hade jag tillfälle att konstatera hur osäkra många lärare kände sig inför allt det nya och främmande. Detta medförde utan tvekan att läroboken fick en alltmer styrande roll och där­med i viss mån passiviserade lärarna.

I dag känner jag en viss stolthet över att jag ganska envist protesterade och anmälde en avvikande mening. Men kritik kunde då som nu tolkas som brist på nytänkande. Att bli utpekad som ”bakåtsträvare” kändes heller inte bra, eftersom jag ansåg att jag var progressiv och arbetade för att göra matematiken mera åskådlig och begriplig.

Studerar man förarbetet till Lgr 69 finner man emellertid många ambitiösa förslag. Det hävdades till exempel att all undervisning borde grundas på förståelse, och man förordade också ett laborativt och undersökande arbetssätt. Sådana arbetsmeto­der hade i andra ämnen stora förespråkare.

Man talade om frigörande pedagogik, som tog sig uttryck i arbetsskolemetoder och aktivitets­pedagogik. Men liknande arbetssätt tycks ha ver­kat svårt att tillämpa i matematik. Det var visser­ligen mycket ”tyst räkning”, ofta mekanisk räkning, men det krävs samtal och dialog för att skapa hållfasta begrepp och förståelse. Ett sådant arbetssätt blev inte lättare i och med mängdlärans införande! Denna period får tyvärr närmast betecknas som en tillbakagång.

I och med Lgr 80 frigjorde man sig från mängdläran och betonade mycket starkt att man måste utgå från elevernas erfarenheter och behov. De allra första raderna under rubriken Mål är egentligen mycket intressanta:

Matematik ingår i grundskolans undervisning därför att matematik kan användas för att beskriva verkligheten och för att beräkna följderna av olika handlingar.

Denna i och för sig ganska omatematiska formu­lering anger två väsentliga mål – ett språkligt-episkt och ett matematiskt-logiskt. Just denna dubbla funktion finns det enligt min mening all anledning att tillämpa och utveckla.

VILKA MÅL HAR VI FÖR DAGENS UNDERVISNING I MATEMATIK

I citatet tidigare av Gottfrid Sjöholm från 1926 nämner han vikten av att vinna en färdighet ”som livet kräver”. Det sammanfaller i hög grad med dagens gällande styrdokument. Här ett citat från kursplanen för matematik i Lpo 94:

Grundskolan har till uppgift att ge eleverna sådana kunskaper och färdigheter i matematik som behövs för att kunna fatta välgrundade beslut i vardagslivets många valsituationer, för att kunna tolka och använda det ökande flödet av information och för att kunna följa och delta i beslutsprocesser i samhället.

Dagens högteknologiska samhälle ställer utan tvekan stora krav på den enskilde både vad det gäller förmåga att tyda och tolka text och dra logiska slutsatser.

Instruktioner är ofta svåra att läsa. Det teknis­ka ersätter det manuella, automaten ersätter människan. Vi ska också själva fatta fler och fler beslut och ha förmåga att välja mellan olika alter­nativ (teleoperatör, elleverantör, pensionspla­ceringar etc.).

Detta ställer självklart ökade krav inte bara på förmåga att utföra matematiska beräkningar utan i minst lika hög grad på förmåga till logiskt tänkande.

Matematikämnet har stora förutsättningar att utveckla denna förmåga, men det kräver en viss omprioritering både vad gäller stoff och arbets­metoder.

MINDRE RÄKNANDE – MERA TÄNKANDE

När jag gick i skolan hette ämnet i folkskolan Räkning och nog räknades det alltid! På den tiden fanns det emellertid skäl att öva upp den mekaniska räkningen med hjälp av våra standardalgoritmer, men i dag har vi effektiva och billiga hjälpmedel för sådana beräkningar i miniräknaren. Men för att vi inte ska bli slavar under tekniken måste vi avsätta tid för effektiv huvudräkning/överslags­räkning, så att vi kan göra nödvändiga rimlighetsbedömningar.

Både knapptryckningar på miniräknare och inprogrammerade uppställningar kan bli så ”beroendeframkallande” att de hindrar andra tankeformer och strategier att utvecklas. Det har visat sig vara svårt att öva upp huvudräkning om eleverna redan vant sig vid våra standardalgorit­mer. Huvudräkningen arbetar ju med helt andra tankegångar och med flexibilitet och kreativitet, medan algoritmerna i hög grad handlar om sifferexercis, där eleverna flyttar siffror och oftast helt bortser från talens värde. I mitt arbete med vuxna under senare år har jag märkt att de i samband med textuppgifter i första hand ställer sig frågan ”Hur ska jag ställa upp?” Det verkar vara viktigare än att reflektera över innehållet och vilken information de ska utgå ifrån. Jag ser detta som ett resultat av den tidiga programmering som de utsatts för genom skolans stora krav på den formella behandlingen och det mekaniska räknandet. Dessa rutiner har faktiskt blivit som en tvångströja, som de har svårt att komma ur, och som ofta blockerar tänkandet. Det finns starka skäl att flytta fokus från räknandet till tänkandet. Det har vi för övrigt stöd för enligt Lpo 94, där man under Mål att sträva mot kan läsa följande:

Skolan skall i sin undervisning sträva efter att eleven

• får tilltro till det egna tänkandet och den egna förmågan att lära sig matematik och använda matematik i olika situationer,

• förstår och kan använda logiska resonemang, dra slutsatser och generalisera samt muntligt och skriftligt förklara och argumentera för sitt tänkande.

Tidigare har jag nämnt ett antal pedagoger som verkade under den första hälften av 1900-talet. Även dessa framhöll vikten av logiskt tänkande. Här ett par citat som belyser detta:

Men här är ju icke fråga om huruvida jag kan utföra en enkel räkneoperation, här är det fråga om huruvida jag kan sköta det ämne, jag skulle vilja kalla det den brynsten, på vilket förståndet skall skärpas, här är det fråga om kanske det viktigaste medlet för utvecklande av det logiska tänkandet. (Anna Kruse ur Åskådningsmatematik, 1909)

Knappast något av skolans ämnen torde så bra kunna befordra tankens reda och klarhet. Det måste därför betraktas som en väsentlig upp­gift för matematikundervisningen att verka bildande på eleverna i logiskt tänkande. (Fritz Wigforss ur Den grundläggande matematik­undervisningen 1925.)

Att utveckla logiskt tänkande kräver medveten övning och bör helt klart få väsentligt större utrymme. Grundförutsättningarna är en kombi­nation av matematisk kompetens och språklig kompetens.

Men det är inte så lätt att förändra. Det finns en konservatism, inte minst från föräldrars sida. De reagerar t.ex. starkt om deras barn inte lär sig ”att ställa upp” och använda de gamla invanda algoritmerna. Vi kan bara tänka på vilket rabal­der det blivit i samband med ändrade divisions­uppställningar. Och det har tyvärr skett ett antal gånger under 1900-talet.

LÄSA OCH LÖSA PROBLEM

Att inte kunna läsa innebär ett mycket stort handikapp. Bristande läsförmåga påverkar helt naturligt också elevernas förutsättningar att lyc­kas i matematik. De matematiska texterna är ju dessutom ofta koncentrerade och innehåller ord och uttryck som är dåligt förankrade i elevernas språk. Ett begränsat och bristfälligt ordförråd hindrar eleverna från att bli delaktiga i under­visningen. Det är sannolikt fler elever som miss­lyckas med textuppgifter på grund av brister i läsförståelse än på grund bristande räknefär­dighet.

Kanske är matematik det ämne som drabbas hårdast av bristande språklig kompetens, bero­ende på att ämnet till sin karaktär kräver mycket av abstraktionsförmåga och koncentration. Många elever är i dag dessutom av olika skäl splittrade och oroliga. Under sådana förhållanden är det inte lätt att mobilisera intresse och energi. Även läraren ställs inför svåra uppgifter, inte minst beroende på de nedskärningar som skett inom skolans område.

Det finns anledning att målmedvetet ta reda på hur elevernas läsförmåga och läsförståelse ser ut. Upptäcker man brister måste man så tidigt som möjligt sätta in hjälp. Tyvärr händer det att elever inte får den hjälp och det stöd de behöver i tid, vilket får till följd att många elever ger upp och intalar sig att de helt enkelt inte kan lära sig mate­matik, framför allt att de inte kan lösa textupp­gifter. Och ändå är det just den typ av uppgifter som kommer att möta dem i vuxenlivet. Då sak­nas dessutom Facit!

För att fästa uppmärksamheten på läsförmå­gan och läsförståelsen i samband med textupp­gifter i matematik har jag ställt samman ett analysmaterial. Syftet är att underlätta för läraren att snabbt kunna kartlägga elevernas förmåga att läsa och lösa textuppgifter av varierande slag. Det kan användas för grupp, hel klass eller vid individuella stödåtgärder. (Se vidare under Referenser!) Det väsentliga är att vi ser allvarligt på rådande förhållanden och tar gemensamma krafttag för att hjälpa eleverna att både läsa och lösa prob­lem.

LABORATIVA ÖVNINGAR OCH TEKNISKA HJÄLPMEDEL VIKTIGA KOMPLEMENT

Då man ”avskaffade” mängdläran var det tyvärr en del annat som åkte med av bara farten, däri­bland för ”lågstadiet” en del åskådningsgeomet­ri men också moment med tal i bråkform. Det är ett misstag att vänta med tal i bråkform så länge som man nu i allmänhet gör. Man kan redan tidigt låta elever utföra jämförelser och upptäcka relationsförhållanden och även införa benäm­ningar som hälften, tredjedel etc. Däremot behö­ver man inte syssla med symbolbeteckningar, det kan vänta. Det är egentligen om man inte väntar som problemen uppstår. Men genom det labora­tiva arbetet skapas en förförståelse inför kom­mande moment där man arbetar med hel­heten och delarna, såsom tal i bråkform och procent.

Mitt intresse för laborativa övningar som ett självklart och naturligt inslag i matematikunder­visningen har jag på många sätt givit uttryck för. ”Självverksamhet” har ju sedan länge betonats. Tyvärr förknippas sådana inslag ofta med yngre elever och så inom specialundervisningen förstås. (För de mindre begåvade!) Ändå vet vi att ”han­den är hjärnans förlängda redskap” (Piaget). Det är viktigt att visualisera och framför allt att själv vara aktiv i processen. ”Nu ser jag, nu förstår jag” är en vanlig kommentar.

Det fanns en period då man trodde att man kunde minska antalet lärare om man ökade före­komsten av tekniska hjälpmedel. Den stora IT-satsningen blev tyvärr inte riktigt så framgångsrik som man tänkt sig. Orsakerna var flera. Det fanns för få datorer, otillräcklig tillsyn för att se till att de datorer som fanns fungerade, lärare som inte själva hade tillräcklig vana att arbeta med datorer och slutligen för få verkligt pedagogiskt upplag­da program.

Många av dessa initiala problem har med tiden åtgärdats. Förekomsten av tekniska hjälpmedel har också ökat starkt i vanliga hem. En miniräk­nare är en självklarhet och många elever har också tillgång till dator i hemmet, där de snabbt lär sig både att spela spel och ”surfa på nätet”. Det är inte helt ovanligt att eleverna behärskar tekniken bättre än läraren.

Den kanske viktigaste användningen av datorer hittills har varit att ge kompensatoriska hjälpmedel, t.ex. till elever med någon typ av handikapp. För undervisningen i svenska är det speciellt angeläget att investera i ett bra ordbe­handlingsprogram.

Numera finns det emellertid ett stort utbud av datorprogram i matematik. Många är rena övningsprogram på tabeller, men andra innehål­ler problem av mycket varierande slag och svårighetsgrad.

Eftersom det ibland kan vara svårt att motivera såväl lärare som elever att arbeta laborativt med ett material som används redan för yngre elever, bestämde jag mig för att arbeta fram ett dator­program. Det är ett resultatet av en 30-årig dröm att sprida kunskap om hur man kan utnyttja ett av de laborativa hjälpmedel som infördes i svenska skolor i samband med Lgr 69 och mängdläran. Dess upphovsmannen är belgaren George Cuisenaire (1891–1976). Det är ett relations­materiel med färgstavar i tio olika färger och motsvarande längder.

Datorprogrammet Logik i matematik innehål­ler nära tusentalet uppgifter med varierad svårig­hetsgrad. Denna arbetsform, som för övrigt har väsentligt högre status än det direkta arbetet med stavarna, kräver inga formella uppställningar som kan hindra elever att fritt utveckla fantasi och kreativitet.

Men det som dessutom för mig har känts extra angeläget i allt mitt pedagogiska arbete, är att knyta samman de båda kärnämnena svenska och matematik och därmed påvisa språkets oerhört stora betydelse för ämnet matematik och i samband därmed utveckla det logiska tänkandet och ge eleverna ”den färdighet som livet kräver”.

Under denna i stort sett sekellånga resa från kulram till datorer känns det nästan lite vemo­digt att konstatera att vi trots alla reformpedago­ger, stora satsningar på fortbildning, konferenser och matematikbiennaler och inrättandet av ett nationellt centrum för matematikundervisning, ännu inte nått den anpassning till samhällsutveck­lingen som måste anses nödvändig. Men visst är vi på väg! Det viktiga är nu att klarlägga vilka mål vi vill ställa upp för den fortsatta resan.

/ GUDRUN MALMER

---

Gudrun Malmer är fil. hedersdoktor i utbildningsvetenskap vid Göteborgs universitet. Hon har varit klasslärare, speciallärare, rektor, lärarutbildare och senast metodiklektor vid speciallärarutbildningen i Malmö. Författare till flera böcker och läromedel.

Referenser (förutom de olika läroplanerna)

Jonsson, K.G. (1921): Handledningvid den första räkneundervisningen. Lindblads.

Kruse, Anna (1909): Åskådningsmatematik. Norstedt & Söner, Stockholm.

Malmer, G. (1991): Språkets roll i matematikundervisningen. Tal och räkning I, G. Emanuelsson m.fl. (Red.), Studentlitteratur, Lund.

Malmer, G. (1992): Matematik – ett glädjeämne. Ekelunds Förlag AB, Solna.

Malmer, G. (1999): Bra matematik för alla. Studentlitteratur, Lund.

Malmer, G. (2001): Matematik och logik. Datorprogram, Elevdata, Malmö.

Malmer, G. (2001): Analys av Läsförståelse i Problemlösning, Screeningtest från skolår 2 och upp till vuxna elever. ALP 1–8. Firma Bok & Bild/Gudrun Malmer, Lund.

Malmer, G. (2002): Läsa och lösa problem. Artikel i Att undervisa nr 1/2002.

Nordlund–Sörensen–Wikberg (1925): Arbetssättet i folkskolan III, Räkning och geometri. Norstedt & Söner, Stockholm.

Wigforss, Fritz (1925): Den grundläggande matematikundervisningen. Bergvalls, Stockholm.